Hijo del antiguo campeón de rallycross Franz Wurz, Alex participó en el Campeonato de BMX en 1988 antes de dirigir su atención a las cuatro ruedas. Después de un par de años en karting, el austriaco pasó por la Formula Ford y el Campeonato de F3 de Alemania. En 1996, Wurz participaba en varias categorías de motor, consiguiendo la victoria en Le Mans con el Joest Porsche WSC95. Después probó para Sauber y Benetton, con lo que su carrera en Fórmula Uno estaba ya encaminada.

Trabajando como piloto de pruebas para Benetton Renault en 1997, Wurz tuvo que sustituir al piloto de carrera Gerhard Berger debido a una enfermedad. Hizo su debut en F1 en Montreal, de donde se retiró por un problema con el cambio y después abandonó también en Francia tras un trompo. Sin embargo, su buena actuación en el GP de Gran Bretaña le valió su primer podio cuando acabó por detrás de su compañero Jean Alesi en la meta.

Con Berger recuperado, Wurz quedó fuera de competición el resto de la temporada, antes de firmar como piloto de carrera con el equipo. Wurz acabó octavo en la clasificación en su primera temporada completa, con el cuarto puesto en Brasil, Argentina, España, Canadá y Gran Bretaña, y el quinto en Francia. Su temporada se recuerda principalmente por su batalla con Michael Schumacher en Mónaco y el vuelco espectacular que protagonizó en la salida del Gran Premio de Canadá.

Aunque 1998 era una buena temporada para Wurz, el año siguiente fue decepcionante, ya que solo acabó dos veces en los puntos. En 2000, Wurz solo puntuó una vez en Imola y el austriaco perdió el puesto al final de la temporada.

Después pasó a pilotar para McLaren Mercedes como piloto de pruebas. Los rumores de un acuerdo con Jaguar Racing se quedaron en nada y Wurz se centró en su puesto de probador entre bastidores.

Cinco años después de su última carrera en los puntos en San Marino, McLaren le sacó a pista para sustituir a un lesionado Juan Pablo Montoya. Una carrera segura y agresiva de Wurz demostró que no había perdido la velocidad que había demostrado en 1998 y acabó en tercera posición, consiguiendo el segundo podio de su carrera.

Fue la única carrera para McLaren y Wurz optó por dejar el equipo a mitad de temporada para ser piloto de pruebas de Williams Cosworth. Este fichaje sorprendió a muchos en el paddock, pero pronto el equipo de Grove anunciaba que Wurz sería uno de sus dos pilotos titulares para el 2007. Aunque Wurz logró la tercera posición en la caótica carrera de Montreal y un cuarto puesto en Nurburgring, la temporada en conjunto fue decepcionante, ya que Wurz tuvo muchos problemas, sobretodo en calificación. Después del Gran Premio de China, donde acabó 12º, el equipo ascendió al piloto de pruebas Kazuki Nakajima a piloto de carrera y Wurz se perdió la última prueba de la temporada en Brasil, diciendo que iba a retirarse de la competición.

En 2008, Wurz se ha incorporado al equipo Honda como piloto de pruebas.